Question

提出問題：如圖①,在四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,（其中n為奇數）,連接EG、FH,那么S_{四邊形EFHG}與S_{四邊形ABCD}之間有什么關系呢？
                                         
探究發現：為了解決這個問題,我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：
(1)如圖②：四邊形ABCD中,點E、F是AD的3等分點,點G、H是BC的3等分點,連接EG、FH,那么S_{四邊形EFHG}與S_{四邊形ABCD}之間有什么關系呢？
如圖③,連接EH、BE、DH,

因為△EGH與△EBH高相等,底的比是1:2,
所以S_△EGH=S_△EBH
因為△EFH與△DEH高相等,底的比是1:2,
所以S_△EFH=S_△DEH
所以S_△EGH+S_△EFH=S_△EBH +S_△DEH
即S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形EBHD}
連接BD,
因為△DBE與△ABD高相等,底的比是2：3,
所以S_△DBE=S_△ABD
因為△BDH與△BCD高相等,底的比是2：3,
所以S_△BDH=S_△BCD
所以S_△DBE +S_△BDH=S_△ABD+S_△BCD =(S_△ABD+S_△BCD)
=S_{四邊形ABCD}
即S_{四邊形EBHD}=S_{四邊形ABCD}
所以S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形EBHD}=×S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形ABCD}
（1）如圖④：四邊形ABCD中,點E、F是AD的5等分點中最中間2個,點G、H是BC的5等分點中最中間2個,連接EG、FH,猜想：S_{四邊形EFHG}與S_{四邊形ABCD}之間有什么關系呢                       
驗證你的猜想：

（2）問題解決：如圖①,在四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,連接EG、FH,（其中n為奇數）
那么S_{四邊形EFHG}與S_{四邊形ABCD}之間的關系為：                            （不必寫出求解過程）

Answer 1

（1）S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形ABCD,}證明見解析；
（2）S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形ABCD}．

試題分析：仿照上面的探究思路,類比求解．
試題解析：（1）四邊形ABCD中,點E、F是AD的5等分點中最中間2個,點G、H是BC的5等分點中最中間2個,連接EG、FH,S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形ABCD,}
如圖④：連接EH、BE、DH,

因為△EGH與△EBH高相等,底的比是1:3,
所以S_△EGH=S_△EBH
因為△EFH與△DEH高相等,底的比是1:3,
所以S_△EFH=S_△DEH
所以S_△EGH+S_△EFH=S_△EBH +S_△DEH
即S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形EBHD}
連接BD,
因為△DBE與△ABD高相等,底的比是3：5,
所以S_△DBE=S_△ABD
因為△BDH與△BCD高相等,底的比是3：5,
所以S_△BDH=S_△BCD
所以S_△DBE +S_△BDH=S_△ABD+S_△BCD = (S_△ABD+S_△BCD)
=S_{四邊形ABCD}
即S_{四邊形EBHD}=S_{四邊形ABCD}
所以S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形EBHD}=×S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形ABCD}．
（2）在四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,連接EG、FH,（其中n為奇數）那么S_{四邊形EFHG}=S_{四邊形ABCD}．