Question

如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點在軸上，是線段的中點．將線段繞著點順時針方向旋轉，得到線段，連結、．

（1）判斷的形狀，并簡要說明理由；
（2）當時,試問:以、、、為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出相應的 的值？若不能，請說明理由；
（3）當為何值時，與相似？

Answer 1

（1）證明見解析；（2）當時，以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，理由見解析；（3）或

試題分析：(1)根據旋轉的性質可得PB=PC，∠PBC=90°，故△PBC是等腰直角三角形；
（２）以P、O、B、C為頂點的四邊形為平等四邊形：因為，所以OB∥PC，又點B是PA的中點，所以OB=BP=PC.故四邊形POBC是平等四邊形．此時有，即．即，從而可求t的值；
（3）由題意可知，， 分兩種情況討論：當時，∽，此時， ；當時，∽，此時，；因此，當或時，與相似
試題解析：（1）△PBC是等腰直角三角形.
∵線段PB繞著點P順時針方向旋轉90°，得到線段PC
∴PB=PC，∠BPC=90°，
∴△PBC是等腰直角三角形.
（2）當OB⊥BP時，以P、O、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形．
∵∠OBP=∠BPC=90°
∴OB∥PC，
∵B是PA的中點
∴
∴四邊形POBC是平行四邊形
當OB⊥BP時，有即
∴
∴，（不合題意）
∴當t=2時，以P、O、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形．
（3）由題意可知，，
當時，∽，此時
∴ 
當時，∽，此時
∴
∴當或時，與相似
考點: 1.等腰直角三角形的判定；2.平等四邊形的判定；3.相似三角形的判定與性質.