Question

如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．

①求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
②判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
③點M（m，0）是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，求m的值．

Answer 1

①，頂點D；②直角三角形；③

試題分析：①把點A（﹣1，0）的坐標代入拋物線的解析式即可求得拋物線的解析式，從而得到拋物線的頂點坐標；
②由可得，，即可得到，從而可得△是直角三角形；
③ 作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2．連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最小，設拋物線的對稱軸交x軸于點E，證得∽，再根據相似三角形的性質即可求得結果.
①把點A（﹣1，0）的坐標代入拋物線的解析式
整理后解得，
所以拋物線的解析式為 
頂點D；
②∵          
  
    
∴  
∴△是直角三角形；
③ 作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2．連接C′D交x軸于點M，

根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最小
設拋物線的對稱軸交x軸于點E，
∽
∴
∴，
∴．
點評：二次函數的綜合題是初中數學的重點和難點，是中考的熱點，尤其在壓軸題中極為常見，要特別注意.