Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延長線于N．

(1)求證：BM=CN；

(2)若AB=8，AC=4，求BM的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)2

【解析】

（1）根據角平分線的性質和線段垂直平分線的性質可得到DM=DN，DB=DC，根據HL證明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN；
（2）由HL證明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出AM=AN，證出2BM=AB-AC=4，即可得出BM=2．

(1)證明：連接BD、CD，如圖所示：

∵AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，

∴DM=DN，

∵DE垂直平分線BC，

∴DB=DC，

在Rt△DMB和Rt△DNC中，

∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，

∴BM=CN；

(2) 由(1)得：BM=CN，

∵AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB，DN⊥AC，

∴DM=DN，

在Rt△DMA和Rt△DNA中，

∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，

∴AM=AN，

∵AM=AB-BM，AN=AC+CN，

∴AB-BM=AC+CN，

∴2BM=AB-AC=8-4=4，

∴BM=2．