Question

如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經過點A，點P是拋物線上點A、C間的一個動點（含端點），過點P作PF⊥BC于點F. 點D、E的坐標分別為（0，6），（-4，0），連接PD，PE，DE.

   （1）請直接寫出拋物線的解析式；

（2）小明探究點P的位置發現：當點P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值. 進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值. 請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；

（3）小明進一步探究得出結論：若將“使△PDE的面積為整數”的點P記作“好點”，則存在多個“好點”，且使△PDE的周長最小的點P也是一個“好點”.

     請直接寫出所有“好點”的個數，并求出△PDE的周長最小時“好點”的坐標.

 

 

Answer 1

（1）；（2）設P（a,）,則F（a, 8），∵ D(0,6) ∴ PD=, ∴ PD-PF=2，

（3）P(a, )，， ∴ S_△=,

,   ∵ -8≤a≤0  ∴ 4≤S_△≤13，

∴ 三角形面積可以等于4到13所有整數，在面積為12時a的值有兩個，所以面積為整數時好點有11個，經過驗證周長最小時的好點包含這11個之內，所以好點共11個；周長最小即PD+PE最小即可, ∵ PD=PF+2, 

∴ PF+PE之和最小即可，所以此時P、E、F三點共線，此時P（-4,6）,

綜上，11個好點，P（-4,6）.