Question

已知平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AC=10，BD=8．
（1）若AC⊥BD，試求四邊形ABCD的面積；
（2）若AC與BD的夾角∠AOD=60°，求四邊形ABCD的面積；
（3）試討論：若把題目中“平行四邊形ABCD”改為“四邊形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，試求四邊形ABCD的面積（用含θ，a，b的代數式表示）．

Answer 1

（1）∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD的面積=

1

2

AC•BD=40．

（2）分別過點A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F． （3分）
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO=

1

2

AC=5，BO=DO=

1

2

BD=4．
在Rt△AOE中，sin∠AOE=

AE

AO

，
∴AE=AO•sin∠AOE=AO×sin60°=5×

3

2

=

5 3

2

． （4分）
∴S_△AOD=

1

2

OD•AE=

1

2

×4×

3

2

×5=5

3

．（5分）
∴四邊形ABCD的面積S=4S_△AOD=20

3

． （6分）

（3）如圖所示，過點A，C分別作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F． （7分）

在Rt△AOE中，sin∠AOE=

AE

AO

，
∴AE=AO•sin∠AOE=AO•sinθ．
同理可得
CF=CO•sin∠COF=CO×sinθ． （8分）
∴四邊形ABCD的面積
S=S_△ABD+S_△CBD=

1

2

BD•AE+

1

2

BD•CF
=

1

2

BDsinθ（AO+CO）
=

1

2

BD•ACsinθ
=

1

2

absinθ．