Question

【題目】如圖，已知直線分別交軸、軸于點、，拋物線過，兩點，點是線段上一動點，過點作軸于點，交拋物線于點．

（1）若拋物線的解析式為，設其頂點為，其對稱軸交于點．

①求點和點的坐標；

②在拋物線的對稱軸上找一點，使的值最大，請直接寫出點的坐標；

③是否存在點，使四邊形為菱形？并說明理由；

（2）當點的橫坐標為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①，②，③不存在，理由見解析；（2）存在，或．

【解析】

(1)①函數的對稱軸為: ，故點，即可求解；

②設拋物與x軸左側的交點為R(-1，0)，則點A與R關于拋物線的對稱軸對稱，連接RB并延長交拋物線的對稱軸于點Q，則點Q為所求，即可求解

③四邊形MNPD為菱形，首先PD＝MN，即，解得：或（舍去），故點，而，即可求解；

(2)分∠DBP為直角、∠BDP為直角兩種情況，分別求解即可.

解：（1）①函數的對稱軸為：，故點，

當時，，故點；

②設拋物線與軸左側的交點為，則點與關于拋物線的對稱軸對稱，

連接并延長交拋物線的對稱軸于點，則點為所求，

將、的坐標代入一次函數表達式：并解得：

直線的表達式為：，當時，，故點；

③不存在，理由：

設點，則點，

，

四邊形為菱形，首先，

即，解得：或（舍去），

故點，而，

故不存在點，使四邊形為菱形；

（2）當點的橫坐標為1時，則其坐標為：，此時點、的坐標分別為：、

，

①當為直角時，以、、為頂點的三角形與相似，

則，，則，

，，

則，故點；

②當為直角時，以、、為頂點的三角形與相似，

則軸，則點、關于拋物線的對稱軸對稱，故點，

綜上，點的坐標為：或，

將點、、的坐標代入拋物線表達式：并解得：

或．