Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分別是BC、CD邊的中點，連接BF、DE交于點P，連接CP并延長交AB于點Q，連接AF，則下列結論：①CP平分∠BCD；②四邊形ABED為平行四邊形；③CQ將直角梯形ABCD分為面積相等的兩部分；④△ABF為等腰三角形，其中不正確的有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．0個

Answer 1

【答案】分析：由BC=CD=2AD，且E、F分別為BC、DC的中點，利用中點定義及等量代換得到FC=EC，再由一對公共角相等，利用SAS得到△BCF≌△DCE，利用全等三角形的對應角相等得到∠FBC=∠EDC，再由BE=DF及對頂角相等，利用AAS得到的△BPE≌△DPF，利用全等三角形的對應角相等得到BP=DP，再由CP為公共邊，BC=DC，利用SSS得到△BPC≌△DPC，根據全等三角形的對應角相等得到∠BCP=∠DCP，即CP為∠BCD平分線，故選項①正確；由AD=BE且AB∥BE，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ABED為平行四邊形，故選項②正確；由△BPC≌△DPC，得到兩三角形面積相等，而△BPQ與四邊形ADPQ的面積不相等，可得出CQ不能將直角梯形ABCD分為面積相等的兩部分，故選項③不正確；由全等得到BF=ED，利用平行四邊形的對邊相等得到AB=ED，等量代換可得AB=BF，即三角形ABF為等腰三角形，故選項④正確．
解答：解：∵BC=CD=2AD，E、F分別是BC、CD邊的中點，
∴CF=CE，BE=DF，
在△BCF和△DCE中，
∵，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠FBC=∠EDC，BF=ED，
在△BPE和△DPF中，
∵，
∴△BPE≌△DPF（AAS），
∴BP=DP，
在△BPC和△DPC中，
∵，
∴△BPC≌△DPC（SSS），
∴∠BCP=∠DCP，即CP平分∠BCD，
故選項①正確；
又∵AD=BE且AD∥BE，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
故選項②正確；
顯然S_△BPC=S_△DPC，但是S_△BPQ≠S_{四邊形ADPQ}，
∴S_△BPC+S_△BPQ≠S_△DPC+S_{四邊形ADPQ}，
即CQ不能將直角梯形ABCD分為面積相等的兩部分，
故選項③不正確；
∵BF=ED，AB=ED，
∴AB=BF，即△ABF為等腰三角形，
故④正確；
綜上，不正確的選項為③，其個數有1個．
故選A．
點評：本題考查了等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質，以及全等三角形的判定與性質，熟記以上圖形的性質，并能靈活運用其性質，是解答本題的關鍵，本題綜合性較好．