Question

【題目】如圖，是將拋物線平移后得到的拋物線，其對稱軸為，與軸的一個交點為，另一交點為，與軸交點為．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點為拋物線上一點，且，求點的坐標；

（3）點是拋物線上一點，點是一次函數的圖象上一點，若四邊形為平行四邊形，這樣的點是否存在？若存在，分別求出點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）（1，4）（3）P、Q的坐標是（0，3），（1，3）或（，）、（，）

【解析】

試題分析：（1）已知拋物線的對稱軸，因而可以設出頂點式，利用待定系數法求函數解析式；

（2）首先求得B和C的坐標，易證△OBC是等腰直角三角形，過點N作NH⊥y軸，垂足是H，設點N縱坐標是（a，﹣a2+2a+3），根據CH=NH即可列方程求解；

（3）四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1，且PQ∥OA，設P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．

試題解析：（1）設拋物線的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．

把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，

解得k=4，

則拋物線的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；

（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，則y=3，即C的坐標是（0，3），OC=3．

∵B的坐標是（3，0），

∴OB=3，

∴OC=OB，則△OBC是等腰直角三角形．

∴∠OCB=45°，

過點N作NH⊥y軸，垂足是H．

∵∠NCB=90°，

∴∠NCH=45°，

∴NH=CH，

∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，

設點N縱坐標是（a，﹣a2+2a+3）．

∴a+3=﹣a2+2a+3，

解得a=0（舍去）或a=1，

∴N的坐標是（1，4）；

（3）∵四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1，且PQ∥OA，

設P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，則﹣t2+2t+3=（t+1）+，

整理，得2t2﹣t=0，

解得t=0或．

∴﹣t2+2t+3的值為3或．

∴P、Q的坐標是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．