Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC，AB=4，以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接FD．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）求EF的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】

（1）連接OD，根據切線的判定方法即可求出答案；

（2）由于OD∥AC，點O是AB的中點，從而可知OD為△ABC的中位線，在Rt△CDE中，∠C＝60°，CE＝CD＝1，所以AE＝ACCE＝41＝3，在Rt△AEF中，所以EF＝AEsinA＝3×sin60°＝.

（1）連接OD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠C=∠A=∠B=60°，

∵OD=OB，

∴△ODB是等邊三角形，

∴∠ODB=60°

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴DE⊥AC

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線

（2）∵OD∥AC，點O是AB的中點，

∴OD為△ABC的中位線，

∴BD=CD=2

在Rt△CDE中，

∠C=60°，

∴∠CDE=30°，

∴CE=CD=1

∴AE=AC﹣CE=4﹣1=3

在Rt△AEF中，

∠A=60°，

∴EF=AEsinA=3×sin60°=