Question

【題目】如圖：在四邊形紙片ABCD中，AB＝12，CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝∠B．現將紙片沿EF折疊，使點A的對應點A'落在AB邊上，連接A'C．若△A'BC恰好是以A'C為腰的等腰三角形，則AE的長為_____．

Answer 1

【答案】1或.

【解析】

過點C作CM⊥AB于點M，過點D作DN⊥AB于點N，由“AAS”可證△ADN≌△BCM，可得AN＝BM，DN＝CM，即可證四邊形DCMN是矩形，可得CD＝MN＝2，AN＝BM＝5，由折疊性質可得AE＝A'E，分A'C＝BC和A'C＝A'B兩種情況討論，由等腰三角形的性質和勾股定理可求解．

解：如圖，過點C作CM⊥AB于點M，過點D作DN⊥AB于點N，

∴四邊形DCMN是矩形

∴AN＝BM＝＝5

∵將紙片沿EF折疊，使點A的對應點A'落在AB邊上，

∴AE＝A'E，

若A'C＝BC，且CM⊥AB

∴BM＝A'M＝5

∴AA'＝AB﹣A'B＝12﹣10＝2

∴AE＝1

若A'C＝A'B，過點A'作A'H⊥BC，

∵CH2＝BC2﹣BM2＝A'C2﹣A'M2，

∴36﹣25＝A'B2﹣（5﹣A'B）2，

∴A'B＝

∴AA'＝AB﹣A'B＝12﹣＝

∴AE＝

故答案為：1或