Question

重慶市某房地產開發公司在2012年2月以來銷售商品房時，市場營銷部經分析發現：隨著國家政策調控措施的持續影響，大多市民持幣觀望態度濃厚，從2月起第1周到第五周，房價y₁（百元/m²）與周數x（1≤x≤5，且x取正整數）之間存在如圖所示的變化趨勢：3月中旬由于房屋剛性需求的釋放，出現房地產市場“小陽春”行情，房價逆市上揚，從第6周到第12周，房價y₂與周數x（6≤x≤12，且x取整數）之間關系如下表：

周數x	6	7	9	10	12
房價y2（百元/m2）	68	69	71	72	74

（1）根據如圖所示的變化趨勢，直接寫出y₁與x之間滿足的函數關系式；請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出y₂與x之間的函數關系式；
（2）已知樓盤的造價為每平米30百元，該樓盤在1至5周的銷售量p₁（百平方米）與周數x滿足函數關系式p₁=x+74（1≤x≤5，且x為整數），6至12周的銷售量p₂（百平方米）與周數x滿足函數關系式p₂=2x+80（6≤x≤12，且x取整數），試求今年1至12周中哪個周銷售利潤最大，最大為多少萬元？
（3）市場營銷部分析預測：從五月開始，樓市成交均價將正常回落，五月（以四個周計算）每周的房價均比第12周下降了m%，樓盤的造價不變，每周的平均銷量將比第12周增加5m%，這樣以來5月份將完成總利潤20800萬元的銷售任務，請你根據參考數據，估算出m的最小整數值．（參考數據：54²=2916，55²=3025，56²=3136，57²=3249）

Answer 1

解：（1）將（3，68.5），（1，69.5）代入y₁=kx+b，
得：，
解得：，
故y₁=-0.5x+70，
根據圖表可以得出此函數是一次函數解析式，故將（6，68），（7，69）代入y₂=ax+c，
，
解得：，
故y₂=x+62；

（2）由題意知，當1≤x≤5時，w=p₁（y₁-30）=（x+74）（-0.5x+40）=-0.5x²+3x+2960，
∵-0.5＜0，
∴當x=3時，w_最大=2964.5（萬元），
當6≤x≤12時，w=p₂（y₂-30）=（2x+80）（x+32）=2x²+144x+2560，
∵2＞0，
∴當x=12時，w_最大=4576（萬元），
∵4576＞2964.5，∴當x=12時，w最大，最大為4576萬元；

（3）根據題意有：12周的銷量p₂=2×12+80=104，12周的售價y₂=12+62=74，
則4×104（1+5m%）[74（1-m%）-30]=20800，
設m%=t，則原方程可化為185t²-73t+3=0，
解得 ，
∴t₁≈0.349，t₂≈0.046，
∴m₁=100t₁≈35m₂=100t₂≈5，
∴m的最小值約為5．
分析：（1）根據圖象與列表和題意，設解析式為y₁=kx+b，以及y₂=ax+c，即可得到解析式；
（2）設銷售額是W，根據題意列方程：當1≤x≤5時，w=p₁（y₁-30），當6≤x≤12時，w=p₂（y₂-30）進而求出即可；
（3）根據題意有：12周的銷量p₂=2×12+80=104，12周的售價y₂=12+62=74，進而表示出5月的利潤求出即可．
點評：此題考查了二次函數的應用以及二次函數的最值和一元二次方程的應用等知識，此題閱讀量較大，是中考中難點問題，根據已知得出5月份的銷量與售價是解題關鍵．