Question

【題目】在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，直角三角板含45°角的頂點P在邊BC上移動（點P不與B，C重合），如圖，直角三角板的一條直角邊始終經過點A，斜邊與邊AC交于點Q，當△ABP為等腰三角形時，CQ的長為_____．

Answer 1

【答案】1或2﹣2．

【解析】

由等腰直角三角形的性質得BCAB＝2，∠B＝∠C＝45°，再證明∠BAP＝∠CPQ，則可判斷△CPQ∽△BAP，所以，分兩種情況討論：當PB＝PA時，易得AP⊥BC，BP＝CPBC，利用相似比可計算出CQ＝1；當BP＝AB＝2時，易得PC＝22，利用相似比可計算出此時CQ＝22．

∵△ABC為等腰直角三角形，∴BCAB＝2，∠B＝∠C＝45°．

∵∠APC＝∠B+∠BAP，即∠APQ+∠CPQ＝∠B+∠BAP，而∠APQ＝45°，∴∠BAP＝∠CPQ，∴△CPQ∽△BAP，∴．分兩種情況討論：

當PB＝PA時，則AP⊥BC，此時BP＝CPBC，∴CQ1；

當BP＝AB＝2時，此時PC＝22，∴CQ2．

綜上所述：CQ的長為1或22．

故答案為：1或22．