Question

【題目】如圖，在中，，將繞點順時針旋轉45°，得到，點關于直線的對稱點為，連接交直線于點，連接．

（1）根據題意補全圖形；

（2）判斷的形狀，并證明；

（3）連接，用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．

溫馨提示：在解決第（3）問的過程中，如果你遇到困難，可以參考下面幾種解法的主要思路．

解法1的主要思路：

延長至點，使，連接，可證，再證是等腰直角三角形．

解法2的主要思路：

過點作于點，可證是等腰直角三角形，再證．

解法3的主要思路：

過點作于點，過點作于點，設，，用含或的式子表示，．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）是等腰直角三角形； 證明見解析．（3）；證明見解析．

【解析】

(1)根據題目意思補全圖形即可；

(2)根據旋轉的性質得到，再根據點與關于直線對稱得到，即可證明是等腰直角三角形；

(3)解法一：延長至點，使，連接，可證，再證是等腰直角三角形，進而得到答案．

解法二：過點作于點，可證是等腰直角三角形，再證進而得到答案．

解法三：過點作于點，過點作于點，設，，用含或的式子表示，進而得到答案．

（1）正確補全圖形：

（2）是等腰直角三角形；

證明：∵將繞點順時針旋轉45°，

∴，

∵點與關于直線對稱，

∴，．

∴．

∴是等腰直角三角形．

（3）；

解法1證明：延長至點，使，連接，．

∵是等腰直角三角形，，

∴，．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，．

∴．

即．

∴是等腰直角三角形．

∴．

即．

解法2證明：過點作于點，取中點，連接，．

設，，

∵，

∴．

∴，．

在中，

∵，

∴．

∴．

即．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴.

∴．

∴．

又∵．

∴．

解法3證明：過點作于點，過作于點，

∴．

即．

∵．

∴．

∵，

∴．

∴．

同解法2，可證．

設，，

∴，．

∴．