Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，直線DC與AB的延長線相交于P．弦CE平分∠ACB，交直徑AB于點F，連結BE．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）探究線段PC，PF之間的大小關系，并加以證明；
（3）若tan∠PCB= ，BE= ，求PF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵PC是⊙O的切線，AD⊥CD，

∴∠OCP=∠D=90°，

∴OC∥AD．

∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．

（2）解：PC=PF．

證明：∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠PCB+∠ACD=90°

又∵∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．

又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．

∴∠PFC=∠PCF．

∴PC=PF．

（3）解：連接AE．

∵∠ACE=∠BCE，

∴ = ，

∴AE=BE．

又∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°．

AB= ，

∴OB=OC=5．

∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，

∴△PCB∽△PAC．

∴ ．

∵tan∠PCB=tan∠CAB= ．

∴ = ．

設PB=3x，則PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，

解得x1=0， ．

∵x＞0，∴ ，

∴PF=PC= ．

【解析】（1）連接OC，根據切線的性質可得OC⊥CD，則AD∥OC，根據等邊對等角，以及平行線的性質即可證得；（2）根據圓周角定理以及三角形的外角的性質定理證明∠PFC=∠PCF，根據等角對等邊即可證得；（3）證明△PCB∽△PAC，根據相似三角形的性質求得PB與PC的比值，在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解．