Question

【題目】如圖，CN是等邊△的外角內部的一條射線，點A關于CN的對稱點為D，連接AD，BD，CD，其中AD，BD分別交射線CN于點E，P．

（1）依題意補全圖形；

（2）若，求的大小（用含的式子表示）；

（3）用等式表示線段， 與之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）圖形見解析（2）∠BDC=60°-α（3）PB=PC+2PE

【解析】試題分析：（1）按題意補全圖形即可；

（2）由點A與點D關于CN對稱可得CA=CD，再由∠ACN=α得到∠ACD=2α，由等邊△ABC可推得∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α，從而可得；

（3）PB=PC+2PE． 在PB上截取PF使PF=PC，連接CF，通過推導可證明△BFC≌△DPC，再利用全等三角形的對應邊相等即可得.

試題解析：（1）如圖所示；

（2）∵點A與點D關于CN對稱，

∴CN是AD的垂直平分線，

∴CA=CD，

∵，

∴∠ACD=2，

∵等邊△ABC，

∴CA=CB=CD，∠ACB=60°，

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+，

∴∠BDC=∠DBC=（180°∠BCD）=60° ；

（3）結論：PB=PC+2PE．

本題證法不唯一，如：

在PB上截取PF使PF=PC，連接CF．

∵CA=CD，∠ACD=

∴∠CDA=∠CAD=90° ．

∵∠BDC=60° ，

∴∠PDE=∠CDA∠BDC=30°

∴PD=2PE．

∵∠CPF=∠DPE=90°∠PDE=60°．

∴△CPF是等邊三角形．

∴∠CPF=∠CFP=60°．

∴∠BFC=∠DPC=120°．

∴在△BFC和△DPC中，

，

∴△BFC≌△DPC．

∴BF=PD=2PE．

∴PB= PF+BF=PC+2PE．