Question

如圖（1）是邊長分別為a和b（a＞b）的兩個等邊三角形紙片ABC和C′DE疊放一起（C與C′重合）的圖形．

（1）若將圖（1）中的△C′DE，繞點C順時針旋轉任意一個角度α，連接AD、BE，如圖（2），此時，線段BE與AD之間具有怎樣的數量關系？試證明你的結論；
（2）根據上述操作過程，請你猜想：當α為多少度時，線段AD的長度最大？是多少？

Answer 1

（1）答：BE=AD．
證明如下：∵△ABD和△C′DE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∵在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；

（2）解：根據三角形的三邊關系，AC+CD＞AD，
所以，當A、C、D三點共線時AD的長度最大，
最大值=AC+CD=a+b，
此時旋轉角α=180°．
分析：（1）根據等邊三角形的性質可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠BCE=∠ACD，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=AD；
（2）根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得AC+CD＞AD，從而判定當A、C、D三點共線時AD的長度最大，最大值等于兩個等邊三角形的邊長的和．
點評：本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的三邊關系，（1）求出三角形全等的條件∠BCE=∠ACD是解題關鍵；（2）根據三角形的三邊關系判斷出AD最大時的位置是解題的關鍵．