Question

（2012•河?xùn)|區(qū)一模）如圖1，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿射線AB，BC運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為1cm/s．
（Ⅰ）當(dāng)△PQB是直角三角形時(shí)，求AP的長；
（Ⅱ）連接AQ，CP交于點(diǎn)M，則在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t；需要分類討論：①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)和②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)兩種情況，然后在直角三角形中利用30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半可以求得t的值；
（Ⅱ）此題也需要分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在線段AB，BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形（△ABQ≌△CAP）的判定與性質(zhì)可以證得∠CMQ=60°不變；
②當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在射線AB，BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，利用等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形（△PBC≌△ACQ）的判定與性質(zhì)可以證得∠CMQ=120°不變．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=4-t
①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得4-t=2t，解得，t=

4

3

；
②當(dāng)∠BPQ=90°，∵∠B=60°，∴BQ=2PB，得t=2（4-t），解得t=

8

3

；
∴當(dāng)AP=

4

3

cm或AP=

8

3

cm時(shí)，△PBQ為直角三角形--------------------------（4分）

（Ⅱ）①當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在線段AB，BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CMQ=60°不變．
∵等邊△ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
又由條件得AP=BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°--------（6分）
②當(dāng)點(diǎn)P，Q分別在射線AB，BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CMQ=120°不變．
∵在等邊△ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，又由條件得BP=CQ，
∴△PBC≌△ACQ（SAS），
∴∠BPC=∠MQC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=120°（等量代換）-------------------------------------------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．解題時(shí)，采用了“分類討論”是數(shù)學(xué)思想，以防漏解．