Question

平面直角坐標系中，如圖，將個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設拋物線y＝ax 2＋bx＋c（a＜0）過矩形頂點B、C。

（1）當n＝1時，如果a＝－1，試求b的值。

（2）當n＝2時，在矩形OABC上方作一邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式。

（3）當n=3時，將矩形OABC繞點O順時針旋轉，使得點B落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時經過原點O，求a的值。

Answer 1

（1）1；（2）y=-x2+x+1；（3）-．

【解析】

試題分析：（1）根據已知得到拋物線對稱軸為直線x=，代入即可求出b；

（2）設所求拋物線解析式為y=ax2+bx+1，由對稱性可知拋物線經過點B（2，1）和點M（，2），把B、M的坐標代入得到方程組，求出a、b的值即可得到拋物線解析式；

（3）當n=3時，OC=1，BC=3，設所求拋物線解析式為y=ax2+bx，過C作CD⊥OB于點D，則Rt△OCD∽Rt△OBC，得出，設OD=t，則CD=3t，根據勾股定理OD2+CD2=OC2，求出t，得出C的坐標，把B、C坐標代入拋物線解析式即可得到方程組，求出a即可．

試題解析：（1）∵拋物線過矩形頂點B、C，其中C（0，1），B（n，1）

∴當n=1時，拋物線對稱軸為直線x=，

∴-，

∵a=-1，

∴b=1，

答：b的值是1．

（2）設所求拋物線解析式為y=ax2+bx+1，

由對稱性可知拋物線經過點B（2，1）和點M（，2），

則，

解得

∴所求拋物線解析式為y=-x2+x+1，

答：此時拋物線的解析式是y=-x2+x+1

（3）當n=3時，OC=1，BC=3，

設所求拋物線解析式為y=ax2+bx，

過C作CD⊥OB于點D，

則Rt△OCD∽Rt△OBC，

∴，

設OD=t，則CD=3t，

∵OD2+CD2=OC2，

∴（3t）2+t2=12，

∴t=，

∴C（，），

又∵B（，0），

∴把B、C坐標代入拋物線解析式，得，

解得：a=-，

答：a的值是-．

考點：二次函數綜合題