Question

四邊形OABC是等腰梯形，OA∥BC．在建立如圖的平面直角坐標系中，A（4，0），B（3，2），點M從O點以每秒2個單位的速度向終點A運動；同時點N從B點出發以每秒1個單位的速度向終點C運動，過點N作NP垂直于x軸于P點連接AC交NP于Q，連接MQ．
（1）寫出C點的坐標；
（2）若動點N運動t秒，求Q點的坐標；（用含t的式子表示）
（3）其△AMQ的面積S與時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（4）當t取何值時，△AMQ的面積最大；
（5）當t為何值時，△AMQ為等腰三角形．

Answer 1

（1）C（1，2）．

（2）過C作CE⊥x軸于E，則CE=2
當動點N運動t秒時，NB=t
∴點Q的橫坐標為3-t
設Q點的縱坐標為y_Q
由PQ∥CE得

yQ

2

=

1+t

3

∴y_Q=

2+2t

3

∴點Q（3-t，

2+2t

3

）；

（3）點M以每秒2個單位運動，
∴OM=2t，AM=4-2t，
S_△AMQ=

1

2

AM•PQ=

1

2

•（4-2t）•

2+2t

3

=

2

3

（2-t）（t+1）
=-

2

3

（t²-t-2）
當t=2時，M運動到A點，△AMQ不存在，
∴t≠2，
∴t的取值范圍是0≤t＜2；

（4）由S_△AMQ=-

2

3

（t²-t-2）=-

2

3

（t-

1

2

）²+

3

2

．
當t=

1

2

時，S_max=

3

2

；

（5）①若QM=QA
∵QP⊥OA，
∴MP=AP，
而MP=4-（1+t+2t）=3-3t，
即1+t=3-3t，
t=

1

2

，
∴當t=

1

2

時，△QMA為等腰三角形；
②若AQ=AM
AQ²=AP²+PQ²=（1+t）²+（

2+2t

3

）²=

13

9

（1+t）²AQ=

13

3

，
AM=4-2t

13

3

（1+t）=4-2t，
t=

85-18 13

23

而0＜

85-18 13

23

＜2，
∴當t=

85-18 13

23

時，△QMA為等腰三角形；
③若MQ=MA
MQ²=MP²+PQ²
=（3-3t）²+（

2+2t

3

）²=

85

9

t²-

154

9

t+

85

9

∴

85

9

t²-

154

9

t+

85

9

=（4-2t）²

49

9

t²-

10

9

t-

59

9

=0
解得t=

59

49

或t=-1（舍去）
∵0＜

59

49

＜2，
∴當t=

59

49

時，△QMA為等腰三角形；
綜上所述：當t=

1

2

，t=

85-18 13

23

或t=

59

49

△QMA都為等腰三角形．