Question

【題目】如圖1，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經過原點O，與x軸的另一個交點為B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標；

（3）連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得△OBP與△OAB相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x；（2）見解析；（3）不存在，見解析

【解析】解：（1）由題意可設拋物線的解析式為

y=a（x﹣2）2+1

∵拋物線過原點，

∴0=a（0﹣2）2+1，

∴．

拋物線的解析式為y=﹣（x﹣2）2+1，

即y=﹣x2+x

（2）如圖1，當四邊形OCDB是平行四邊形時，CD=OB，

由0=﹣（x﹣2）2+1得x1=0，x2=4，

∴B（4，0），OB=4．

由于對稱軸x=2

∴D點的橫坐標為6．

將x=6代入y=﹣（x﹣2）2+1，得y=﹣3，

∴D（6，﹣3）；

根據拋物線的對稱性可知，

在對稱軸的左側拋物線上存在點D，使得四邊形ODCB是平行四邊形，此時D點的坐標為（﹣2，﹣3），

當四邊形OCBD是平行四邊形時，D點即為A點，此時D點的坐標為（2，1）

（3）不存在．

如圖2，由拋物線的對稱性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO．

若△BOP與△AOB相似，必須有∠POB=∠BOA=∠BPO

設OP交拋物線的對稱軸于A′點，顯然A′（2，﹣1）

∴直線OP的解析式為y=﹣x

由﹣x=﹣x2+x，得x1=0，x2=6．

∴P（6，﹣3）

過P作PE⊥x軸，在Rt△BEP中，BE=2，PE=3，

∴PB=≠4．

∴PB≠OB，

∴∠BOP≠∠BPO，

∴△PBO與△BAO不相似，

同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點．

所以在該拋物線上不存在點P，使得△BOP與△AOB相似．