Question

【題目】如圖，育英學校前方有一斜坡AB長60米，坡度i＝1：，BC⊥AC，現計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體（用陰影表示），修建一個平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE．

（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，則平合DE最長是多少米？

（2）學校教學樓GH距離坡腳A點27米遠（即AG＝27米），小明在D點測得教學樓頂部H的仰角（即∠HDM）為30°．點B、C、A、G、H在同一個平面上，點C、A、G在同一條直線上，且HG⊥CG，問：教學樓GH高為多少米？（結果精確到0.1米，參考數據≈1.732）

Answer 1

【答案】（1）平合DE最長是11.0米；（2）教學樓GH高為45.6米．

【解析】

（1）由斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，可得出當∠BEF=45°時，EF最短，此時ED最長，由斜坡AB的坡度可得出∠BAC=∠BDF=30°，由點D是AB的中點可得出AD，BD的長，通過解直角三角形可求出EF，DF的長，結合DE=DF-EF可求出平合DE最大值；
（2）過點D作DP⊥AC，垂足為點P，在Rt△DPA中，通過解直角三角形可求出PA的長，利用矩形的性質可求出DM的長，在Rt△DMH中，通過解直角三角形可求出HM的長，再結合GH=HM+MG可求出教學樓GH的值．

（1）∵斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，

∴∠BEF最大為45°，

當∠BEF＝45°時，EF最短，此時ED最長．

∵tan∠BAC＝i＝，

∴∠BAC＝∠BDF＝30°．

∵點D是AB的中點，

∴AD＝BD＝AB＝30米，

∴BF＝EF＝BD＝15米，DF＝15 米，

∴DE＝DF﹣EF＝15（﹣1）≈11.0米．

答：平合DE最長是11.0米．

（2）如圖，過點D作DP⊥AC，垂足為點P．

在Rt△DPA中，DP＝AD＝15米，PA＝ADcos30°＝15 米．

在矩形DPGM中，MG＝DP＝15米，DM＝PG＝PA+AD＝（15 +27）米，

在Rt△DMH中，HM＝DMtan30°＝（15+27）×＝（15+9 ）米，

∴GH＝HM+MG＝15+15+9≈45.6米．

答：教學樓GH高為45.6米．