Question

閱讀題：我國著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形小數時難入微，數形結合百般好，隔離分家事萬休．”數形結合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案．
例：求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整數；
如果采用數形結合的方法，現利用圖形的性質來求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：
如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3…n個小圓圈的個數恰好為所求式子1+2+3+4+…+n的值，為求式子的值，現把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個平行四邊形小圓圈的總個數為n（n+1）個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數為

n(n+1)

2

，即1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

①仿照上述數形結合的思想方法，設計相關圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n為正整數（要求畫出圖形，寫出結果即可）
②試設計另外一種圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數（要求畫出圖形，寫出結果即可）

Answer 1

分析：①根據題干的分析方法，我們也可以作出一個平行四邊形，平行四邊形的邊長分別為2n，n；則組成一個平行四邊形小圓圈的總個數為n×2n個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數為n×n．
②根據提干的分析方法，如下圖所示，我們可以作出一個正方形，它的邊長為n，此時小圓圈的總個數為：n×n=n²．

解答：解：①

組成平行四邊形小圓圈的總個數為n×2n個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數為n×n=n²．
②

可以組成一個邊長為n的正方形，因此1+3+5+7+…+（2n-1）=n×n=n²．

點評：本題屬于圖形變化類得出規律型，關鍵在于根據提干得出方便求解的圖形，如：平行四邊形、正方形等．