Question

（2011•鄂爾多斯）如圖，在⊙O中，OC⊥AB，垂足為D，且AB=4

3

cm，∠OBD=30°，則由弦AC、AB與

BC

所圍成的陰影部分的面積是

8

3

π

cm²．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：連接BC．利用垂徑定理、等邊三角形的判定證得△OBC是等邊三角形；然后由等邊三角形的性質(zhì)推知點D是線段OC的中點，從而證得S_△ADC=S_△BDO，繼而推出S_陰影=S_扇形BOC．

解答：解：連接BC．
∵在⊙O中，OC⊥AB，垂足為D，且AB=4

3

cm，
∴BD=AD=2

3

（垂徑定理）；
又∵∠OBD=30°，
∴OB=

BD

cos30°

=4，∠COB=60°（直角三角形的兩個銳角互余）；
∵OB=OC（⊙O的半徑），
∴△OBC是正三角形，
∴CD=OD；
∴S_△ADC=S_△BDO=

1

2

×

1

2

AB×

1

2

CD=

1

8

AB•CD，
∴S_陰影=S_扇形BOC=

60π×42

360

=

8

3

π．
故答案是：

8

3

π

點評：此題主要考查了扇形面積的計算、垂徑定理．解題時，主要用分割法把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積，進行計算．