Question

直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，菱形ABCD如圖放置在平面直角坐標系中，其中點D在x軸負半軸上，直線y=x+m經過點C，交x軸于點E．
①請直接寫出點C、點D的坐標，并求出m的值；
②點P（0，t）是線段OB上的一個動點（點P不與O、B重合），經過點P且平行于x軸的直線交AB于M、交CE于N．設線段MN的長度為d，求d與t之間的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
③點P（0，t）是y軸正半軸上的一個動點，為何值時點P、C、D恰好能組成一個等腰三角形？

Answer 1

（1）m=9；（2）；（3）t=4，或t=，t=時，△PCD均為等腰三角形.

解析試題分析：（1）由直線的解析式可求出A和B點的坐標，再根據菱形的性質即可求出點C、點D的坐標，把點C的坐標代入直線y=x+m即可求出m的值；
（2）設點M的坐標為（x_M，t），點N的坐標為（x_N，t），首先求出x_M=﹣t+3，再求出x_N=t﹣9，進而得到d=x_M﹣x_N=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；
（3）由A和B的坐標可求出AB的長，再分三種情況分別討論求出符合題意的t值即可．
試題解析：（1）∵直線y=﹣x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴點A的坐標為（3，0）點B的坐標為（0，4），
∵四邊形ABCD是菱形，
∴點C的坐標為（﹣5，4），點D的坐標為（﹣2，0），
∵直線y=x+m經過點C，
∴m=9，
（2）∵MN 經過點P（0，t）且平行于x軸，
∴可設點M的坐標為（x_M，t），點N的坐標為（x_N，t），
∵點M在直線AB上，
直線AB的解析式為y=﹣x+4，
∴t=，得x_M=﹣t+3，
同理點N在直線CE上，直線CE的解析式為y=x+9，
∴t=x_N+9，得x_N=t﹣9，
∵MN∥x軸且線段MN的長度為d，
∴d=x_M﹣x_N=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；
（3）∵直線AB的解析式為y=﹣x+4，
∴點A 的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，4），AB=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=5，
∴點P運動到點B時，△PCD即為△BCD是一個等腰三角形，此時=4；
∵點P（0，t）是y軸正半軸上的一個動點，
∴OP=t，PB=|t﹣4|，
∵點D的坐標為（﹣2，0），
∴OD=2，由勾股定理得PD²=OD²+OP²=4+t²，
同理，CP²=BC²+BP²=25+（t﹣4）²，
當PD=CD=5時，PD²=4+t²=25，
∴t=（舍負），
當PD=CP時，PD²=CP²，4+t²=25+（t﹣4）²，
∴t=，
綜上所述，t=4，或t=，t=時，△PCD均為等腰三角形．

考點：一次函數綜合題