Question

如圖，已知直線AB與x軸、y軸分別交于A和B，OA=4，且OA、OB長是關于x的方程x²﹣mx+12=0的兩實根，以OB為直徑的⊙M與AB交于C，連接CM并延長交x軸于N．
（1）求⊙M的半徑．
（2）求線段AC的長．
（3）若D為OA的中點，求證：CD是⊙M的切線．

Answer 1

(1) ;(2) ；（3）證明見解析.

解析試題分析：（1）由OA、OB長是關于x的方程x²﹣mx+12=0的兩實根，得OA•OB=12，而OA=4，所以OB=3，又由于OB為⊙M的直徑，即可得到⊙M的半徑．
（2）連接OC，根據OB是⊙M直徑，得到OC⊥BC，利用面積相等得到OC•AB=OA•OB可以求得OC的長，然后利用勾股定理求得AC的長即可．
（3）連MD，OC，由OB為⊙M的直徑，得∠OCB=90°，則∠OCD=90°，由于D為OA的中點，所以CD=OA=OD，因此可證明△MCD≌△MOD，所以∠MCD=∠MOD=90°，即CD是⊙M的切線．
試題解析：（1）∵OA=4∴A（4，0）
又OA•OB長是x²﹣mx+12=0的兩根
∴OA•OB=12∴OB=3  故B（0，3）
∵OB為直徑
∴半徑MB=;
（2）連接OC

∵OB是⊙M直徑
∴OC⊥BC
∴OC•AB=OA•OB
∵AB=="5"
∴OC•5=3•4
∴OC= 
∴AC= 
（3）∵OM=MC∴∠MOC=∠MCO
又CD是Rt△OCA斜邊上中線
∴DC=DO
∴∠DOC=∠DCO
∵∠DOC+∠MOC=90°
∴∠MCO+∠DCO=90°
∴DC⊥MC
∴CD是⊙M的切線             
考點：一次函數綜合題．