Question

【題目】已知O為坐標原點，拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于點A（x1，0），B（x2，0），與y軸交于點C，且O，C兩點間的距離為3，x1x2＜0，|x1|+|x2|=4，點A，C在直線y2=-3x+t上．

（1）求點C的坐標；

（2）當y1隨著x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；

（3）將拋物線y1向左平移n（n＞0）個單位，記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P，直線y2向下平移n個單位，當平移后的直線與P有公共點時，求2n2-5n的最小值．

Answer 1

【答案】(1)(2) 若c=3，當y隨x增大而增大時，x≤-1；若c=-3，當y隨x增大而增大時，x≥1；

【解析】

試題分析：（1）利用y軸上點的坐標性質表示出C點坐標，再利用O，C兩點間的距離為3求出即可；

（2）分別利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，-3），即c=-3，得出A，B點坐標，進而求出函數解析式，進而得出答案；

（3）利用①若c=3，則y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，y2=-3x+3，得出y1向左平移n個單位后，則解析式為：y3=-（x+1+n）2+4，進而求出平移后的直線與P有公共點時得出n的取值范圍，②若c=-3，則y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，y2=-3x-3，y1向左平移n個單位后，則解析式為：y3=（x-1+n）2-4，進而求出平移后的直線與P有公共點時得出n的取值范圍，進而利用配方法求出函數最值．

試題解析：（1）令x=0，則y=c，

故C（0，c），

∵OC的距離為3，

∴|c|=3，即c=±3，

∴C（0，3）或（0，-3）；

（2）∵x1x2＜0，

∴x1，x2異號，

①若C（0，3），即c=3，

把C（0，3）代入y2=-3x+t，則0+t=3，即t=3，

∴y2=-3x+3，

把A（x1，0）代入y2=-3x+3，則-3x1+3=0，

即x1=1，

∴A（1，0），

∵x1，x2異號，x1=1＞0，∴x2＜0，

∵|x1|+|x2|=4，

∴1-x2=4，

解得：x2=-3，則B（-3，0），

代入y1=ax2+bx+3得，

，

解得：

，

∴y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

則當x≤-1時，y隨x增大而增大．

②若C（0，-3），即c=-3，

把C（0，-3）代入y2=-3x+t，則0+t=-3，即t=-3，

∴y2=-3x-3，

把A（x1，0），代入y2=-3x-3，

則-3x1-3=0，

即x1=-1，

∴A（-1，0），

∵x1，x2異號，x1=-1＜0，∴x2＞0

∵|x1|+|x2|=4，

∴1+x2=4，

解得：x2=3，則B（3，0），

代入y1=ax2+bx+3得，

，

解得：

，

∴y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，

則當x≥1時，y隨x增大而增大，

綜上所述，若c=3，當y隨x增大而增大時，x≤-1；若c=-3，當y隨x增大而增大時，x≥1；

（3）①若c=3，則y1=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，y2=-3x+3，

y1向左平移n個單位后，則解析式為：y3=-（x+1+n）2+4，

則當x≤-1-n時，y隨x增大而增大，

y2向下平移n個單位后，則解析式為：y4=-3x+3-n，

要使平移后直線與P有公共點，則當x=-1-n，y3≥y4，

即-（-1-n+1+n）2+4≥-3（-1-n）+3-n，

解得：n≤-1，

∵n＞0，∴n≤-1不符合條件，應舍去；

②若c=-3，則y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，y2=-3x-3，

y1向左平移n個單位后，則解析式為：y3=（x-1+n）2-4，

則當x≥1-n時，y隨x增大而增大，

y2向下平移n個單位后，則解析式為：y4=-3x-3-n，

要使平移后直線與P有公共點，則當x=1-n，y3≤y4，

即（1-n-1+n）2-4≤-3（1-n）-3-n，

解得：n≥1，

綜上所述：n≥1，

2n2-5n=2（n-）2-，

∴當n=時，2n2-5n的最小值為：-．