Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D為BC的中點．
（1）若E、F分別是AB、AC上的點，且AE=CF，求證：△AED≌△CFD；
（2）當點F、E分別從C、A兩點同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿CA、AB運動，到點A、B時停止；設△DEF的面積為y，F點運動的時間為x，求y與x的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，點F、E分別沿CA、AB的延長線繼續運動，求此時y與x的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D為BC中點

∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°

∴AD=BD=DC

∵AE=CF∴△AED≌△CFD（SAS）

（2）解：依題意有：FC=AE=x，

∵△AED≌△CFD

∴S四邊形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9

∴ S四邊形AEDF-

∴ ；

（3）解：依題意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°

∴∠DAF=∠DBE=135°

∴△ADF≌△BDE

∴S△ADF=S△BDE

∴S△EDF=S△EAF+S△ADB

=

∴ ．

【解析】（1）利用等腰直角三角形的性質得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，進而得到AD=BD=DC，為證明△AED≌△CFD提供了重要的條件；（2）利用S四邊形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9 即可得到y與x之間的函數關系式；（3）依題意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，從而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面積相等得到S△ADF=S△BDE從而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可確定兩個變量之間的函數關系式．
【考點精析】關于本題考查的等腰直角三角形，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°才能得出正確答案．