Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，以AB為直徑的⊙P交BC于H．點A，B在x軸上，點H在y軸上，B點的坐標為（1，0）．
（1）求點A，H，C的坐標；
（2）過H點作AC的垂線交AC于E，交x軸于F，求證：EF是⊙P的切線；
（3）求經過A，O兩點且頂點到x軸的距離等于4的拋物線解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AH，根據AB是⊙P的直徑，先證明△HOB∽△AOH，得OH²=OA•OB，OH=2，過C點作CM⊥y軸于M，所以CH=HB，可證明△CHM≌△BHO，所以CM=OB，MH=OH，OM=4，CM=1，即A（-4，0），H（0，2），C（-1，4）．
（2）連接HP，CH=BH，AP=PB證得HP∥AC，根據EF⊥AC，可知PH⊥EF，所以EF是⊙P的切線．
（3）設拋物線方程為y=a₁（x+2）²+4或y=a₂（x+2）²-4，由拋物線的頂點坐標為（-2，4）或（-2，-4）可知，分別代入x=0，y=0得：a₁=-1，a₂=1，可求拋物線的解析式為y=-（x+2）²+4或y=（x+2）²-4．
解答：解：如圖
（1）連接AH，
∵AB是⊙P的直徑，
∴∠AHB=90°（1分）
∵∠HOB=90°，∠OHB=∠HAO，
∴△HOB∽△AOH
∴OH²=OA•OB，
∴OH²=4×1
∴OH=2（2分）
過C點作CM⊥y軸于M，
∵AB=AC，∠AHB=90°
∴CH=HB（3分）
∵∠CHM=∠OHB，△CHM≌△BHO
∴CM=OB，MH=OH，
∴OM=4，CM=1，（4分）
∴A（-4，0），H（0，2），C（-1，4）（寫錯一個不扣分）（5分）
（或過C點作CM⊥x軸于M，用中位線定理求得OM=1，CM=4）．

（2）證法一：連接HP，
∵CH=BH，AP=PB，
∴HP∥AC，（6分）
∵EF⊥AC，
∴PH⊥EF，（7分）
∴EF是⊙P的切線．（8分）
證法二：
∵AB=AC，
∴∠ACH=∠ABH，
∵HP=PB，
∴∠PHB=∠PBH
∴∠PHB=∠ACH（6分）
∵∠ACH+∠EHC=90°，∠EHC=∠BHF
∴∠PHB+∠BHF=90°（7分）
∴EF是⊙P的切線．（8分）

（3）解法一：
由題意知：拋物線的頂點坐標為（-2，4）或（-2，-4），（9分）
設拋物線方程為y=a₁（x+2）²+4或y=a₂（x+2）²-4（10分），
分別代入x=0，y=0得：a₁=-1，a₂=1，（11分）
∴拋物線的解析式為y=-（x+2）²+4或y=（x+2）²-4．（12分）
解法二：（簡要過程）
設拋物線的方程為y=ax²+bx+c，代入頂點坐標（-2，4）或（-2，-4）（9分）
以及（0，0），（-4，0）得兩個三元一次方程組，（10分）
解方程組得c₁=0，a₁=-1，b₁=-4；c₂=0，a₂=1，b₂=4；（11分）
∴拋物線的解析式為y=x²+4x或y=-x²-4x．（12分）
點評：本題考查二次函數的綜合應用，其中涉及到的知識點有待定系數法求函數解析式，交點的意義和圓中的有關性質等．要熟練掌握才能靈活運用．