Question

【題目】如圖，等腰直角△ABC和等邊△AEF都是半徑為R的圓的內接三角形．

（1）求AF的長.

（2）通過對△ABC和△AEF的觀察，請你先猜想誰的面積大，再證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）AF=R；（2）S△ABC＜S△AEF.

【解析】

（1）連接OF，過O作OG⊥AF于G，在直角△OGF中，利用三角函數即可求解；

（2）根據外接圓的半徑是R，即可求得等腰直角△ABC和等邊△AEF的面積，即可作出比較．

（1）如圖，連接OF，過O作OG⊥AF于G，OF=R，

又∵△AEF為等邊三角形，

∴∠AOF=120°，

∴∠GOF=60°，

在Rt△GOF中，sin∠GOF=，即sin60°=，

∴GF=R，

∴AF=2GF=R；

（2）S△ABC＜S△AEF，理由如下：

∵直角△ABC是等腰直角三角形．

∴AB=2R，

∴AC=R，

∴S△ABC=R2，

，，，

∴S△ABC＜S△AEF.