Question

觀察下列各個等式：1²=1，1²+2²=5，1²+2²+3²=14，1²+2²+3²+4²=30，…．
（1）你能從中推導出計算1²+2²+3²+4²+…+n²的公式嗎？請寫出你的推導過程；
（2）請你用（1）中推導出的公式來解決下列問題：
已知：如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x、y軸的正半軸分別交于點A、B，將線段OAn等分，分點從左到右依次為A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1，分別過這n-1個點作x軸的垂線依次交拋物線于點B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1，設△OBA₁、
△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄、…、△A_n-1B_n-1A的面積依次為S₁、S₂、S₃、S₄、…、Sn．
①當n=2010時，求S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀的值；
②試探究：當n取到無窮無盡時，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么？

Answer 1

分析：（1）由n³-（n-1）³=3n²-3n+1公式的n的式子相加推導出1²+2²+3²+4²+…+n²的公式．
（2）①結合拋物線和（1）中推導出的公式求出S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀的值；
②當n取到無窮無盡時，取極值，求得三角形的面積．

解答：解：（1）∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，∴當式中的n從1、2、3、依次取到n時，就可得下列n個等式：
1³-0³=3-3+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1，…，n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
將這n個等式的左右兩邊分別相加得：n³=3×（1²+2²+3²+…+n²）-3×（1+2+3+…+n）+n，
即1²+2²+3²+4²+…+n²=

n3+3(1+2+3+…+n)-n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

．

（2）先求得A、B兩點的坐標分別為（3，0）、（0，3），
∴點A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1的橫坐標分別為

3

n

、

6

n

、

9

n

、…、

3(n-1)

n

，
點B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1的縱坐標分別為-(

3

n

)2+2(

3

n

)+3、-(

6

n

)2+2(

6

n

)+3、…、-[

3(n-1)

n

]2+2×

3(n-1)

n

+3．
∴S1=

9

2n

，S2=

9(n2+2n-3)

2n3

，S3=

9(n2+4n-12)

2n3

，…，Sn=

9[n2+2(n2-n)-3(n-1)2]

2n3

；
∴S1+S2+S3+…+Sn=

9{n3+2n(1+2+3+…+n-1)-3[12+22+32+…+(n-1)2]}

2n3

=

9[n3+2n× n(n-1) 2 -3× n(n-1)(2n-1) 6

2n3

=

9(2n2+n-1)

4n2

．（3分）
∴①當n=2010時，S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀=

9

2

+

9

4×2010

-

9

4×20102

；
②∵S1+S2+S3+…+Sn=

9(2n2+n-1)

4n2

=

9

2

+

9

4n

-

9

4n2

；
∴當n取到無窮無盡時，上式的值等于

9

2

，即所有三角形的面積和等于

9

2

．（3分）

點評：本題通過推導公式考查了二次函數圖象上點的坐標特征，題目新穎，有一定的難度．