Question

如圖，⊙M與x軸交于A、B兩點，其坐標分別為、，直徑CD⊥x軸于N，拋物線經過A、B、D三點，

(1)  求m的值及點D的坐標.

(2)若直線CE切⊙M于點C，G在直線CE上，已知點G的橫坐標為3. 求G的縱坐標

(3) 對于(2)中的G，是否存在過點G的直線，使它與（1）中拋物線只有一個交點，請說明理由.

(4) 對于(2)中的G 直線FG切⊙M于點F，求直線DF的解析式.

 

Answer 1

 解 (1) ∵拋物線過A、B兩點，

          代入得     m=3. -------------2分

      ∴拋物線為.

      又拋物線過點D，由圓的對稱性知點D為拋物線的頂點.

      ∴D點坐標為. -------------4分

     (2) 設 NC= a,則 DC=4+ a，半徑=2+ a/2，MN=2-a/2

∵CD⊥x軸，∴NA=NB=2. ∴ON=1.

       在直角三角形AMN中,（2+ a/2）²=4+（2-a/2）² -------------6分

   ∴a=1.∴NC=1. G的縱坐標為-1 -------------7分

 (3) 假設存在過點G的直線為，

則，∴.  -------------8分

由方程組 得  -------------9分

∵交點只有一個，∴（2+k₁）²﹣4(﹣4﹣3 k₁)=0

k₁²+16 k₁+20=0

∵16²﹣80>0

∴k₁存在，∴這樣的直線存在-------------10分

 (4)設直線DF交CE于P，連結CF，則∠CFP=90°.

∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.

∵GC、GF是切線，

∴GC=GF. ∴∠3=∠4.

∴∠1=∠2.

∴GF=GP.

∴GC=GP.

可得CP=8. -------------12分

∴P點坐標為  -------------13分

設直線DF的解析式為

則  解得

∴直線DF的解析式為：