Question

【題目】已知拋物線的對稱軸是直線且與軸相交于兩點，與軸交于點點的坐標為．

求拋物線的解析式；

若點是第一象限內拋物線上一點，過點作直線軸于點交直線于點當時，求四邊形的面積．

在的條件下，若點在拋物線上，點在拋物線的對稱軸上，當以點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求出所有符合條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）滿足條件的點的坐標為或或

【解析】

（1）根據拋物線的對稱軸是直線，點在拋物線上，列出方程組，求得中字母的值，即可得到拋物線的解析式．

（2）先根據拋物線的解析式，得到點、點的坐標；再由點、點的坐標，得到直線的解析式；設點的坐標為，得，，根據已知條件，列出方程，通過解方程求得未知數，得到、，三點坐標，根據三角形面積公式，結合圖1，利用割補法求面積，即有，即可得到答案．

（3）設點的坐標為，分三種情況進行討論：如圖2，當為對角線時，點的坐標為；如圖3，當為對角線時，點的坐標為；如圖4．當為對角線時，點的坐標為，分別將點的坐標代入，即得到三個不同的點．

解：（1）∵點的坐標為，對稱軸是直線，

解得

拋物線的解析式為．

（2）畫出圖形，如圖1所示，

圖1

令，代入，

解得，，

∵點的坐標為，

∴點的坐標為，

令，代入，得，

∴點的坐標為，

可求得直線的解析式為．

設點的坐標為，

則，，

∵，

∴，

解得，(舍去)，

∴，，，

∵，

，

，

∴．

（3）設點的坐標為，

如圖2，當為對角線時，點的坐標為，

圖2

將點坐標代入得，，

此時點的坐標為；

如圖3，當為對角線時，點的坐標為，

圖3

將點坐標代入得， ，

此時點的坐標為；

如圖4．當為對角線時，點的坐標為，

圖4

將點坐標代入得，，

此時點的坐標為．

綜上所述，滿足條件的點的坐標為或或．