Question

【題目】已知：拋物線C1：y=x2 ． 如圖（1），平移拋物線C1得到拋物線C2 ， C2經過C1的頂點O和A（2，0），C2的對稱軸分別交C1、C2于點B、D．

（1）求拋物線C2的解析式；
（2）探究四邊形ODAB的形狀并證明你的結論；
（3）如圖（2），將拋物線C2向m個單位下平移（m＞0）得拋物線C3 ， C3的頂點為G，與y軸交于M．點N是M關于x軸的對稱點，點P（﹣ m， m）在直線MG上．問：當m為何值時，在拋物線C3上存在點Q，使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線C2經過C1的頂點O，

∴設拋物線C2的解析式為y=x2+bx，

∵C2經過A（2，0），

∴4+2b=0，

解得：b=﹣2，

∴求拋物線C2的解析式為y=x2﹣2x；

（2）

解：∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，

∴拋物線C2的頂點坐標D為（1，﹣1），

當x=1時，y=1，

∴點B的坐標為（1，1），

∴根據勾股定理得：OB=AB=OD=AD= ，

∴四邊形ODAB是菱形，

又∵OA=BD=2，

∴四邊形ODAB是正方形；

（3）

解：∵拋物線C2向m個單位下平移（m＞0）得拋物線C3，

∴拋物線C3的解析式為y=（x﹣1）2﹣1﹣m，

在y=（x﹣1）2﹣1﹣m中，令x=0，得y=﹣m，

∴M（0，﹣m），

∵點N是M關于x軸的對稱點，

∴N（0，m），

∴MN=2m，

當M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時有兩種情況：

①若MN是平行四邊形的一條邊，

由MN=PQ=2m和點P（﹣ m， m）得Q（﹣ m， m），

∵點Q在拋物線C3上，

∴ m=（﹣ m﹣1）2﹣1﹣m，

解得：m= 或m=0（舍去），

②若MN是平行四邊形的一條對角線，由平行四邊形的中心對稱得Q（ m，﹣ m）

∵點Q在拋物線C3上，

∴﹣ m=（ m﹣1）2﹣1﹣m，解得：m= 或m=0（舍去）

綜上所述，當m= 或 時，

在拋物線C3上存在點Q，使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．

【解析】（1）設設拋物線C2的解析式為y=x2+bx，把A（2，0）代入求出b的值即可；（2）四邊形ODAB的形狀為正方形，求出拋物線C2的頂點坐標D為（1，﹣1）和B的坐標為（1，1）進而證明四邊形ODAB為菱形，再證明是正方形即可；（3）當M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時有兩種情況：①若MN是平行四邊形的一條邊②若MN是平行四邊形的一條對角線，在分別討論求出滿足題意的m值即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和平行四邊形的判定與性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．