Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P、D分別是BC、AC邊上的點，且∠APD＝∠B.

(1)求證：AC·CD＝CP·BP；

(2)若AB＝10，BC＝12，當PD∥AB時，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BP＝.

【解析】（2）易證∠APD=∠B=∠C，從而可證到△ABP∽△PCD，即可得到，即ABCD=CPBP，由AB=AC即可得到ACCD=CPBP；

（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，從而可證到△BAP∽△BCA，然后運用相似三角形的性質即可求出BP的長．

解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．

∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，

∴∠BAP=∠DPC，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

∴ABCD=CPBP．

∵AB=AC，

∴ACCD=CPBP；

（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．

∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．

∵∠B=∠B，

∴△BAP∽△BCA，

∴．

∵AB=10，BC=12，

∴，

∴BP=．

“點睛”本題主要考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、平行線的性質、三角形外角的性質等知識，把證明ACCD=CPBP轉化為證明ABCD=CPBP是解決第（1）小題的關鍵，證到∠BAP=∠C進而得到△BAP∽△BCA是解決第（2）小題的關鍵．