Question

【題目】已知拋物線（是常數）經過點.

（1）求該拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）P(m，t)為拋物線上的一個動點，關于原點的對稱點為.

①當點落在該拋物線上時，求的值；

②當點落在第二象限內，取得最小值時，求的值.

Answer 1

【答案】（1），頂點的坐標為（1，-4）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1) 拋物線經過點，代入求得b值即可求得拋物線的解析式，把拋物線化為頂點式，直接寫出頂點坐標即可；（2）①由點P(m，t)在拋物線上，可得，

關于原點的對稱點為，可得P’（-m，-t），即可得，所以，解方程即可求得m的值；②構造與t的二次函數模型，根據二次函數的性質求得的值最小是t的值，再代入二次函數中求得m的值即可.

試題解析：(1)∵拋物線經過點，

∴0=1-b-3，解得b=-2.

∴拋物線的解析式為，

∵，

∴頂點的坐標為（1，-4）.

(2)①由點P(m，t)在拋物線上，有.

∵關于原點的對稱點為，有P’（-m，-t）.

∴，即

∴

解得

②由題意知，P’（-m，-t）在第二象限，

∴-m<0，-t>0，即m>0，t<0.

又拋物線的頂點的坐標為（1，-4），得-4≤t<0.

過點P’作P’H⊥x軸，H為垂足，有H（-m，0）.

又，，

則

當點A和H不重合時，在Rt△P’AH中，

當點A和H重合時,AH=0, ，符合上式.

∴，即

記，則，

∴當t=-時，y’取得最小值.

把t=-代入，得

解得

由m>0，可知不符合題意

∴.