Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，過點A作AD平分∠BAC交⊙O于點D，過點D作BC的平行線分別交AC、AB的延長線于點E、F，DG⊥AB于點G，連接BD．

(1)求證：△AED∽△DGB；

(2)求證：EF是⊙O的切線；

(3)若，OA＝4，求劣弧的長度(結果保留π)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）先證∠ACB=∠ADB=90°，再由平行得，由垂直得，再根據角度轉換得，即可證明△AED∽△DGB；

（2）連接，證明，即可證明，從而解決本題；

（3）先證∽，得到，再根據OA=4，然后求出，從而求出弧長.

（1）∵AB為直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∵，

∴，

∵DG⊥AB，

∴，

∴

∵，

∴

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠DAG，

∴

∴∽

（2）連接，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴EF是⊙O的切線；

（3）∵，

∴，

∵，

∴，

∴∽，

∴，

∵OA=4，

∴AB=8，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴.