Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（﹣1，0）和B（3，0），與y軸交于點C，連接AC、BC，且∠ACB＝90°．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖（1），若N是AC的中點，M是BC上一點，且滿足CM＝2BM，連AM、BN相交于點E，求點M的坐標和△EMB的面積；

（3）如圖（2），將△AOC沿直線BC平移得到△A′O′C′，再將△A′O′C′沿A′C′翻折得到△A′O′C′，連接AO′，AC′，請問△AO′C′能否構成等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點C的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）C的坐標為（）或（，）或（）．

【解析】

（1）∠ACB＝90°，則OC2＝OA×OB＝3，則點C（0，﹣），即可求解；

（2）證明則S△BEM＝S＝S△ABM，即可求解；

（3）分O″C′＝AO″、O″C′＝AC′、AO″＝AC′，三種情況，分別求解即可．

解：（1）∵∠ACB＝90°，

∠OBC+∠OCB＝90°，∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠OBC＝∠ACO，

∴△COB∽△AOC，∴OC2＝OA×OB＝3，

則點C（0，﹣），則∠ACO＝30°，

則二次函數(shù)表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即：﹣3a＝﹣，則a＝，

則拋物線的表達式為：；

（2）點C（0，﹣）、點B（0，3），

∵CM＝2BM，點M（2，），

連接CE，∵若N是AC的中點，

∴S△ABN＝S△CBN，S△AEN＝S△CEN，

∴S△EBA＝S△EBC，

設：S△BEM＝S，∵CM＝2BM，S△CBE＝3S＝S△EBA，

則S△BEM＝S＝S△ABM＝＝；

（3）能，理由：

如圖2，過點C′作x軸的平行線交過點O″與y軸的平行線于點H，

∵∠AOC＝30°，∴∠O″C′H＝30°，即：∠HC′O′＝90°，

將點B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝kx+b并解得：

直線BC的表達式為：，

設點C′（n，），則HC′＝C′O″cos30°＝，

HO″＝，則點O″（，），

則O″C′2＝3，AO″2＝+2，AC′2＝（n+1）2+

①當O″C′＝AO″時，3＝+，解得：；

②當O″C′＝AC′時，無解；

③當AO″＝AC′時，同理可得：；

故點C的坐標為（，）或（，）或（，）．