Question

【題目】大家在學完勾股定理的證明后發現運用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可 以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為面積法．學有所用：在等腰 三角形 ABC中，AB=AC，其一腰上的高為h，M 是底邊BC上的任意一點，M 到腰AB、AC 的距離分別為 h1、h2 ．

（1）請你結合圖形來證明： h1+h2=h；

（2）當點M在BC延長線上時，h1、h2、h 之間又有什么樣的結論．請你畫出圖形，并直

接寫出結論不必證明；

（3）利用以上結論解答，如圖在平面直角坐標系中有兩條直線l1：y=x+3，l2：y=-3x+3

若 l2上的一點M 到l1的距離是，求點 M 的坐標.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）h1﹣h2=h；（3）點 M 的坐標為 M（，）或（﹣，）．

【解析】

（1）根據S△ABC=S△ABM+S△AMC即可求出答案；

（2）h1-h2=h；

（3）先求得△ABC為等腰三角形，再根據（1）（2）的結果分①當點M在BC邊上時，②當點M在CB延長線上時，求得M的坐標．③當點M在BC的延長線上時，h1=＜h，不存在.

（1）證明：連接 AM，

由題意得 h1=ME，h2=MF，h=BD，

∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，

S△ABM=×AB×ME=×AB×h1，

S△AMC=×AC×MF=×AC×h2，

又∵S△ABC=×AC×BD=×AC×h，AB=AC，

∴×AC×h=×AB×h1+×AC×h2，

∴h1+h2=h．

（2）如圖所示：

h1﹣h2=h．

（3）解：在 y=x+3 中，令 x=0 得 y=3；令 y=0 得 x=﹣4，所以 A（﹣4，0），B（0，3）

同理求得 C（1，0）．

AB==5，AC=5，所以 AB=AC，

即△ABC 為等腰三角形．

（ⅰ）當點 M 在 BC 邊上時，由 h1+h2=h 得：+My=OB，My=3﹣=， 把它代入y=﹣3x+3 中求得：Mx=，所以此時 M（,）

（ⅱ）當點 M 在 CB 延長線上時，由 h1﹣h2=h 得：My﹣=OB，My=3+=，

把它代入 y=﹣3x+3 中求得：Mx=﹣， 所以此時 M（﹣，）．

綜合（ⅰ）、（ⅱ）知：點 M 的坐標為 M（，）或（﹣，）．