Question

【題目】在△ABC中，D、E分別是AB,AC的中點，作∠B的角平分線

（1）如圖1，若∠B的平分線恰好經過點E，猜想△ABC是怎樣的特殊三角形，并說明理由；

（2）如圖2，若∠B的平分線交線段DE于點F，已知AB=8，BC=10，求EF的長度；

（3）若∠B的平分線交直線DE于點F，直接寫出AB、BC、EF三者之間的數量關系。

Answer 1

【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由見解析；

（2）EF=CG =1；

（3）EF=

【解析】

試題（1）由三角形中位線的性質得DE∥BC，∠DEB=∠EBC，由BE平分∠ABC，得DE=DB，∠A=∠DEA，所以∠DEB+∠DBE+∠A+∠DEA=180°，∠AEB=90°，故△ABC是等腰三角形；（2）連接AF并延長交BC于點G，由DE∥BC，BF平分∠ABC，∠DFB=∠FBC，再由角邊角得出△ABF≌△GBF，CG=2，由AE=CE得出EF =1；（3）分兩種情況討論.

試題解析：（1）△ABC是等腰三角形。

理由：∵D、E分別是AB,AC的中點，

∴DE∥BC ∴ ∠DEB=∠EBC，

∵BE平分∠ABC

∴∠DBE=∠EBC

∴∠DEB=∠DBE

∴ DE=DB

∵DE=DB=DA

∴∠A=∠DEA

∴∠DEB+∠DBE+∠A+∠DEA=180°

∴∠AEB=90°即BE垂直平分AC

∴BA=BC 即△ABC是等腰三角形

（2）連接AF并延長交BC于點G

∵D、E分別是AB,AC的中點

∴DE∥BC

∴ ∠DFB=∠FBC

∵BF平分∠ABC

∴∠DBF=∠FBC

∴∠DFB=∠DBF

∴ DF=DB

∵DF=DB=DA

∴∠DAF=∠DFA

∴∠DFB+∠DBF+∠DAF+∠DFA=180°

∴∠AFB=∠GFB=90°,BF=BF, ∠ABF=∠GBF

∴△ABF≌△GBF AB=GB=8,AF=GF

∴ CG=BC-BG=2

又AE=CE

∴EF=CG =1

(3) ①

如圖,∵EF∥BC,

∴∠2=∠3，

又∵∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∴OE=BE，

在△CFO中，同理可證OF=CF，

∵EF=EO+FO，

∴EF=BE+CF；

②

如圖,∵OE∥BC,

∴∠5=∠6，

又∠4=∠5，

∴∠4=∠6，

∴OE=BE，

在△CFO中，同理可證OF=CF，

∵EF=EOFO，

∴EF=BECF.

綜上：EF=