Question

如圖，矩形ABCD，AD=3厘米，AB=4厘米，N為BC上一點，BN=1厘米，動點M從B點出發，沿BA運動，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于點P，Q．當點M到達終點A時停止運動．設運動時間為t秒．
（1）若t=1秒，則PM=

 

厘米；
（2）設四邊形PNCQ的面積為S，求S與t的函數關系式；
（3）M運動到什么位置時，四邊形PNCQ的面積與矩形ABCD的面積的比為9：24？

Answer 1

分析：（1）由矩形ABCD，過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于點P，Q，推出以四邊形AMQD是正方形，利用△AMP∽△ABN，得PM的值．
（2）由題意得BM=CQ=t，△AMP∽△ABN，利用對應邊成比例求得PM，PQ，然后即可求得S與t的函數關系式；
（3）由S四邊形PNCQ=

9

24

S矩形ABCD，解關于t的方程t²+16t-36=0即可．

解答：解：（1）由矩形ABCD，AD=3厘米，AB=4厘米，N為BC上一點，BN=1厘米，
過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于點P，Q，
所以四邊形AMQD是正方形，由△AMP∽△ABN，得

MP

BN

=

AM

AB

=

3

4

．

（2）由題意得BM=CQ=t
∵△AMP∽△ABN，
∴

PM

BN

=

AM

AB

，
∴

PM

1

=

4-t

4

，
∴PM=

4-t

4

，
∴PQ=AD-PM=3-

4-t

4

=

8+t

4

∴S=

1

2

（PQ+CN）×CQ=

1

2

(

8+t

4

+2)×t=

1

8

t2+2t．

（3）S四邊形PNCQ=

9

24

S矩形ABCD，
∴

1

8

t2+2t=

9

24

×3×4，
∴t²+16t-36=0，t₁=2，t₂=-18（舍去）
∴BM=2×1=2厘米，
∴當M運動到AB中點時，四邊形PNCQ的面積與矩形ABCD的面積比為9：24．

點評：此題考查學生對相似三角形的判定與性質和矩形的性質的理解和掌握，此題涉及到動點，難度較大．