Question

如圖，矩形ABCD的兩邊長AB=18cm，AD=4cm，點P、Q分別從A、B同時出發，P在邊AB上沿AB方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1cm的速度勻速運動，設運動時間為x秒，△PBQ的面積為y（cm²）．
（1）求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）若△PBQ的面積為18cm²，求運動時間；
（3）求△PBQ的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）分別表示出PB、BQ的長，然后根據三角形的面積公式列式整理即可得解；
（2）利用一元二次方程的解法得出即可；
（3）把函數關系式整理成頂點式解析式，然后根據二次函數的最值問題解答．

解答：解：（1）∵S_△PBQ=

1

2

PB•BQ，PB=AB-AP=18-2x，BQ=x，
∴y=

1

2

（18-2x）x，
即y=-x²+9x（0＜x≤4）；       

（2）由題意得出：18=-x²+9x，
解得：x₁=3，x₂=6，
∵0＜x≤4，
∴x=3，
∴△PBQ的面積為18cm²，運動時間為3秒；

（3）由（1）知：y=-x²+9x，
∴y=-（x-

9

2

）²+

81

4

，
∵當0＜x≤

9

2

時，y隨x的增大而增大，
而0＜x≤4，
∴當x=4時，y_最大值=20，
即△PBQ的最大面積是20cm²．

點評：本題考查了矩形的性質，二次函數的最值問題，根據題意表示出PB、BQ的長度是解題的關鍵．