Question

圖1是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和C′D′E′疊放在一起（C與C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，將△C′D′E′繞點C順時針旋轉30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長線交AB于F（圖2）；
探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系？試證明你的結論．
（2）操作：將圖2中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的△CDE設為△PQR（圖3）；
請問：經過多少時間，△PQR與△ABC重疊部分的面積恰好等于？
（3）操作：圖1中△C′D′E′固定，將△ABC移動，使頂點C落在C′E′的中點，邊BC交D′E′于點M，邊AC交D′C′于點N，設
∠AC C′=α（30°＜α＜90，圖4）；
探究：在圖4中，線段C′N•E′M的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出C′N•E′M的值，如果有變化，請你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ABC與△DCE是等邊三角形，利用SAS易證得△BCE≌△ACD，即可得BE=AD；
（2）首先設經過x秒重疊部分的面積是，在△CQT中，求得QT=QC=x，RT=3-x，根據三角形面積公式可得方程×3²-（3-x）²=，解此方程即可求得答案；
（3）首先證得∠MCE′=∠CNC′，又由∠E′=∠C′，根據有兩角對應相等的三角形相似證得△E′MC∽△C′CN，又由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．
解答：解：（1）BE=AD（1分）
證明：∵△ABC與△DCE是等邊三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD；（也可用旋轉方法證明BE=AD）（3分）

（2）設經過x秒重疊部分的面積是，
如圖在△CQT中，
∵∠TCQ=30°，∠RQP=60°，
∴∠QTC=30°，
∴∠QTC=∠TCQ，
∴QT=QC=x，
∴RT=3-x，
∵∠RTS+∠R=90°，
∴∠RST=90°，（5分）
由已知得×3²-（3-x）²=，（6分）
∴x₁=1，x₂=5，
∵0≤x≤3，
∴x=1，
答：經過1秒重疊部分的面積是；（7分）

（3）C′N•E′M的值不變．（8分）
證明：∵∠ACB=60°，
∴∠MCE′+∠NCC′=120°，
∵∠CNC′+∠NCC′=120°，
∴∠MCE′=∠CNC′，（9分）
∵∠E′=∠C′，
∴△E′MC∽△C′CN，
∴，
∴C′N•E′M=C′C•E′C=×=．（10分）
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及一元二次方程的求解方法等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．