Question

【題目】如圖，在邊長12的正方形ABCD中，點E是CD的中點，點F在邊AD上，且AF=3DF，連接BE，BF，EF，請判斷△BEF的形狀，并說明理由。

Answer 1

【答案】△BEF是直角三角形，理由見解析

【解析】

因為正方形的四條邊相等，邊長為12，由E為DC的中點，得出DE和EC的長，AF=3DF，得出AF和DF的長，從而在Rt△ABF中、Rt△BCE中和Rt△DEF中，分別由勾股定理求得BF、BE和EF的長，得到BE2+EF2=BF2，再由勾股定理逆定理證得△BEF是直角三角形.

解：△BEF是直角三角形，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠C=∠D=90°

∵點E是CD的中點，

∴DE=CE=CD=6．

∵AF=3DF，

∴DF=AD=3

∴AF=3DF=9．

在Rt△ABF中，由勾股定理可得BF2=AB2+AF2=144+81=225，

在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2=CB2+CE2=144+36=180，

在Rt△DEF中，由勾股定理可得EF2=DF2+DE2=9+36=45，

∵BE2+EF2=180+45=225，BF2=225，

∴BE2+EF2=BF2

∴△BEF是直角三角形.