Question

已知二次函數的圖象經過點（1，0），和（-3，0），反比例函數（x＞0）的圖象經過點（1，2）．
（1）求這兩個二次函數的解析式，并在給定的直角坐標系中作出這兩個函數的圖象；
（2）若反比例函數（x＞0）的圖象與二次函數的圖象在第一象限內交于點A（x₀，y₀），x₀落在兩個相鄰的正整數之間．請你觀察圖象寫出這兩個相鄰的正整數；
（3）若反比例函數（k＞0，x＞0））的圖象與二次函數的圖象在第一象限內的交點為A，點A的橫坐標x₀滿足2＜x₀＜3，試求實數k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）把（1，0），和（-3，0）分別代入
解方程組，得 ．…（1分）
∴拋物線解析式為

∵反比例函數的圖象經過點（1，2），
∴k=2．∴…．

（2）正確的畫出二次函數和反比例函數在第一象限內的圖象

 由圖象可知，這兩個相鄰的正整數為1與2．
（3）由函數圖象或函數性質可知：當2＜x＜3時，對y=，
y隨著x的增大而增大，對y₂=（k＞0），y₂隨著x的增大而減小．
因為A（x₀，y₀）為二次函數圖象與反比例函數圖象的交點，
所以當x₀=2時，由反比例函數圖象在二次函數的圖象上方，
得y₂＞y．
即＞，
解得k＞5．

同理，當x₀=3時，由二次函數的圖象在反比例函數圖象上方的，
得y＞y₂，
即＞，
解得k＜18．
所以k的取值范圍為5＜k＜18．

分析：（1）把（1，0），和（-3，0）分別代入函數關系式得到方程組，解方程組，得 ，所以拋物線解析式為；根據反比例函數的圖象經過點（1，2），求得k=2．進而求得函數的解析式；
（2）觀察函數的圖象可以得到相鄰的兩個正整數為1和2；
（3）由函數圖象或函數性質可知兩個函數的增減性．所以當x₀=2時，反比例函數圖象在二次函數的圖象上方，得y₂＞y并由此解得k的取值范圍，二次函數的圖象在反比例函數圖象上方的，得y＞y₂，并由此也可以求得k的取值范圍，從而得到k完整的取值范圍．
點評：本題考查了二次函數的綜合知識，解題的關鍵是結合函數的圖象得到不等式，并據此求得k的取值范圍．