Question

【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連接PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連接CQ．

(1) 觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論；

(2) 若PA：PB：PC=3：4：5，連接PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AP=CQ，證明見解析（2）△PQC是直角三角形，證明見解析

【解析】

根據等邊三角形的性質利用SAS判定△ABP≌△CBQ，從而得到AP=CQ；設PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ為正三角形從而可得到PQ=4a，再根據勾股定理判定△PQC是直角三角形．

(1)猜想：AP=CQ，

證明：∵∠ABP+∠PBC=60°,∠QBC+∠PBC=60°，

∴∠ABP=∠QBC.

又AB=BC，BP=BQ，

∴△ABP≌△CBQ，

∴AP=CQ；

(2)由PA:PB:PC=3:4:5,

可設PA=3a，PB=4a，PC=5a，

連接PQ，在△PBQ中

由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°，

∴△PBQ為正三角形.

∴PQ=4a.

于是在△PQC中

∵PQ+QC=16a+9a=25a=PC

∴△PQC是直角三角形.