Question

如圖：已知在正方形ABCD中，E是邊AB的中點，點F在BC上，且∠ADE＝∠FDE。

(1)求證：DF＝AB＋FB；
(2)以E為圓心EB為半徑作⊙E，試判斷⊙E與直線DF的位置關系，并說明理由；
(3)在⑵的條件下，若CD=4cm，點M在線段DF上從點D出發向點F運動，速度為0.5cm/s，以M為圓心，MD為半徑作⊙M。當運動時間為多少秒時，⊙M與⊙E相切？

Answer 1

(1)證明見解析；（2）相切，理由見解析；（3）.

試題分析：(1)過E點作EP⊥DF，垂足為P，連接EF，易證△DAE≌△DPE，△EPF≌△EBF,即有：AD=AP，BF=PF，而AB=AD，從而得證；
（2）由EB=EP知⊙E與直線DF相切；
（3）設t秒后兩圓相切，利用勾股定理得出方程，解方程即可求解.
試題解析：（1）過E點作EP⊥DF，垂足為P，連接EF，

在△DAE和△DPE中
∵∠ADE＝∠FDE
DE=DE
∠DAE＝∠DPE
∴△DAE≌△DPE，
∴DP=DA,AE=EP
又DA=AB
∴DP=AB
∵E為AB的中點
∴BE=AE=EP
在Rt△EPF和Rt△EBF中
BE=PE
EF=EF
∴Rt△EPF≌Rt△EBF
∴BF=PF
∴DF=DP+PF=AB+BF
(2)由（1）知：EP=EB
故⊙E與直線DF相切.
(3)設t秒后⊙M與⊙E相切，則有：
（4-0.5t）²+2²=（2+0.5t）²
解得：t=.
考點: 1.全等三角形的判定與性質；2.勾股定理；3.圓和圓的位置關系.