Question

【題目】如圖，點P是等邊三角形ABC內部一個動點，∠APB=120°，⊙O是△APB的外接圓．AP，BP的延長線分別交BC，AC于D，E．
（1）求證：CA，CB是⊙O的切線；
（2）已知AB=6，G在BC上，BG=2，當PG取得最小值時，求PG的長及∠BGP的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA，OB，在⊙O上取一點M，連接AM，BM，

∴四邊形APBM是圓內接四邊形，

∴∠M=180°﹣∠APB=60°，

∵∠AOB=2∠M=120°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠BAC=60°，

∴∠OBC=90°，

∴CB是⊙O的切線；

同理CA是⊙O的切線

（2）作ON⊥AB于N，連接OG，

當O，P，G在一條直線上時，PG最小，

∵AB=6，

∴BN=3，

∴OB=2 ，

∵∠OBG=90°，BG=2，tan∠OGB= ，

∴∠OGB=60°，OG=4，

∴PG=4﹣2 ，

此時，∠BGP=60°．

【解析】（1）連接OA，OB，在⊙O上取一點M，連接AM，BM，根據圓內接四邊形的性質得到∠M=180°﹣∠APB=60°，根據圓周角定理得到∠AOB=2∠M=120°，求得∠BAC=60°，于是得到結論；（2）作ON⊥AB于N，連接OG，當O，P，G在一條直線上時，PG最小，解直角三角形即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質和三角形的外接圓與外心的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心才能正確解答此題．