Question

【題目】如圖，AD是△ABC的高線，BD＝CD，點E是AD上一點，BE＝BC，將△ABE沿BE所在直線折疊，點A落在點A′位置上，連接AA'，BA′，EA′與AC相交于點H，BA′與AC相交于點F．小夏依據上述條件，寫出下列四個結論：①∠EBC＝60°；②∠BFC＝60°；③∠EA′A＝60°；④∠A′HA＝60°.以上結論中，正確的是（　　）

A.①B.③④C.①②③D.①②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接EC，設AD與BA'相交于點O，如圖，由線段垂直平分線的性質可證△BEC是等邊三角形，進一步可得∠EBC＝∠BEC＝∠BCE＝60°，∠BED＝∠CED＝30°，進而可判斷①；由折疊的性質可得∠AEB＝∠BEA'＝150°，繼而可得∠AEA'＝60°，于是可證△AEA'是等邊三角形，進而可判斷③；由“SSS”可證△ABE≌△ACE，可得∠BAD＝∠DAC＝∠BA'E，進一步由三角形的外角性質可得∠EOA'+∠CAD＝∠BFC＝60°，進而可判斷②；由∠A'HA＝∠AEA'+∠EAH＞60°，可對④進行判斷．

解：連接EC，設AD與BA'相交于點O，如圖，

∵BD＝CD，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴BE＝EC，

∵BE＝BC，∴BE＝EC＝BC，

∴△BEC是等邊三角形，且ED⊥BC，

∴∠EBC＝∠BEC＝∠BCE＝60°，∠BED＝∠CED＝30°，故結論①正確；

∴∠AEB＝150°，

∵將△ABE沿BE所在直線折疊，點A落在點A′位置，

∴∠AEB＝∠BEA'＝150°，AE＝A'E，∠BAD＝∠BA'E，

∴∠AEA'＝60°，

∴△AEA'是等邊三角形，∴∠EA'A＝60°，故結論③正確；

∵AB＝AC，BE＝EC，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE（SSS），

∴∠BAD＝∠DAC＝∠BA'E，

∵∠AEA'＝∠EOA'+∠EA'O＝60°，

∴∠EOA'+∠CAD＝∠BFC＝60°，故結論②正確；

∵∠A'HA＝∠AEA'+∠EAH＞60°，∴結論④錯誤.

故選：C．