Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，點C（0，2），D（3，4），在x軸正半軸上有一點A，且它到原點的距離為1．

（1）求過點C、A、D的拋物線的解析式；

（2）設（1）中拋物線與x軸的另一個交點為B，求四邊形CABD的面積；

（3）把（1）中的拋物線先向左平移一個單位，再向上或向下平移多少個單位能使拋物線與直線AD只有一個交點？

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）S四邊形CABD＝5；（3）拋物線y＝x向下平移個單位，與直線AD只有一個交點．

【解析】

（1）將A,C,D三點坐標代入，用待定系數法求拋物線的解析式即可.

（2）可以先將B點坐標求出來，然后作DE⊥x軸于點E，則S四邊形CABD＝S梯形OEDC﹣S△AOC﹣S△BDE

（3）用待定系數法求出直線AD的解析式，然后將拋物線平移后的解析式設出來，聯立之后利用根的判別式為0即可求出.

（1）根據題意可知A的坐標為（1，0），

設過C、A、D三點的拋物線的解析式為：y＝ax2+bx+c（a≠0），

∵C（0，2），A（1，0），D（3，4），

解得，

故過C、A、D三點的拋物線的解析式為：y＝

（2）∵點B為拋物線與x軸的另一個交點，令y＝0，

則

∴x1＝1，x2＝，

∴點B的坐標為，

作DE⊥x軸于點E，

∴S四邊形CABD＝S梯形OEDC﹣S△AOC﹣S△BDE＝

（3）把拋物線y＝，

即y＝，

向左平移一個單位得到的拋物線的解析式為：y＝，

即y＝，

設拋物線y＝向上或向下平移|k|個單位能使拋物線與直線AD只有一個交點，

則向上或向下平移|k|個單位拋物線的解析式為：y＝，

設過A、D兩點的解析式為y＝ax+b，

∵A（1，0），D（3，4），

代入上式得，

解得，

∴直線AD的解析式為：y＝2x﹣2，

得，

∴4x2﹣8x+3k+6＝0，

∴△＝64﹣16（3k+6）＝0，

解得，k＝﹣，

即拋物線y＝向下平移個單位，與直線AD只有一個交點．